TEMA 4: APLICACIONES DE LA DERIVADA

 

 

                   

                          

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

 

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. VICTORIA

 

UNIDAD A DISTANCIA SOTO LA MARINA

 

Ingeniería Industrial

 

Calculo Diferencial

Tema 4: Aplicaciones De La Derivada

Alumnos:

 Pablo Reyes Del Angel, NC:24383015

Yoselin Del Angel Alonso, NC: 24383011

Jesus Jair Nava Rodriguez, NC:25383038

 

Fecha del Semestre: Agosto – Diciembre 2025

 

Asesor: Herandy Garza Delgado

Fecha: 11/Diciembre/2025

 

 

4.1 Teorema de Rolle y Teorema del valor medio.

4.2 Función creciente y decreciente.

4.3 Valores extremos máximos y mínimos de una función.

4.4 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.

4.5 Concavidad y punto de inflexión de funciones.

4.6 Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

4.7 Análisis de la variación de una función. Graficación.

4.8 Razones de cambio relacionadas.

4.9 Problemas de Optimización.

4.10 Definición de diferencial.

4.11 Cálculo de aproximaciones usando diferenciales.

4.12 La regla de L'Hopital.

4.1 Teorema de Rolle y Teorema del valor medio.

EL TEOREMA DE ROLLE

   El teorema de Rolle establece que si una función f(x) cumple las siguientes condiciones en un intervalo cerrado [a, b]: f(x) es continua en [a, b].

1.f(x) es diferenciable en (a, b).

2.f(a) = f(b).

•Entonces, existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) tal que f'(c) = 0. En otras palabras, si una función cumple con estas condiciones, entonces debe existir al menos un punto crítico (donde la derivada es cero) dentro del intervalo. Ejemplo: Consideremos la función f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x en el intervalo [0, 2]. f(0) = 0 y f(2) = 0, por lo que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle.

•Calculando la derivada, f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.

•Igualando a cero, obtenemos x = 1 como el punto crítico dentro del intervalo [0, 2]. 

 

 

 

 TEOREMA DEL VALOR MEDIO

1.El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle. Establece que si una función f(x) cumple las siguientes condiciones en un intervalo cerrado [a, b]: f(x) es continua en [a, b].

2.f(x) es diferenciable en (a, b).

•Entonces, existe al menos un punto c en el intervalo (a, b) tal que: f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a) Es decir, la derivada de la función en algún punto del intervalo es igual a la pendiente de la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Ejemplo: Consideremos la función f(x) = x^2 en el intervalo 3]. Calculando la derivada, f'(x) = 2x.

•Aplicando el teorema del valor medio, existe al menos un punto c en (1, 3) tal que: f'(c) = [f(3) - f(1)] / (3 - 1) = - 1] / 2 = 4

 

 

 

 

 

 https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/4-4-el-teorema-del-valor-medio

 

        https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio

        

4.2 Función creciente y decreciente.

 

        Función Creciente

Una función f(x) es creciente en un intervalo si, para cualesquiera dos puntos $x_1$ y $x_2$ en ese intervalo, donde $x_1<x_2$, se cumple que: $f(x_1)<f(x_2)$ .Esto significa que, a medida que aumenta el valor de $x$, el valor de $f(x)$ también aumenta.

 

Función Decreciente

Una función f(x) es decreciente en un intervalo si, para cualesquiera dos puntos $x^1$ y $x^2$ en ese intervalo, donde $x_1<x_2$ se cumple que: $f(x_1)>f(x_2)$. Esto indica que, a medida que aumenta el valor de $$, el valor de $f(x)$ disminuye.

 

 

Relación con la Derivada

• ${\mathrm{ \; \; f}}^{\mathrm{\prime }}(x)>\mathrm{0 }$en un intervalo, la función es creciente en ese intervalo.
•       Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ en un intervalo, la función es decreciente en ese intervalo.
•       Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ la función puede ser constante o tener un punto crítico (máximo, mínimo o punto de inflexión).

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Gráficas y Comportamiento

•       Creciente: En una gráfica, una función creciente tiene una pendiente positiva (la curva sube hacia la derecha).
•       Decreciente: En una gráfica, una función decreciente tiene una pendiente negativa (la curva baja hacia la derecha).

Por ejemplo, la gráfica de $f(x)=x^2$  muestra una tendencia decreciente a medida que avanza de izquierda a cero y luego una tendencia creciente a medida que avanza de cero a la derecha. El punto $x=\mathrm{0 }$marca la transición entre estos comportamientos .

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Importancia en el Cálculo Diferencial

El análisis de funciones crecientes y decrecientes es esencial para:

1.        Optimización: Identificar máximos y mínimos locales, lo que es útil en problemas de optimización.
2.       Estudio de Gráficas: Comprender el comportamiento de una función en diferentes intervalos.
3.         Resolución de Problemas: Aplicar estos conceptos en física, economía, ingeniería y otras disciplinas.
   

 

https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/calculo/funciones-crecientes-y-decrecientes/

 

                   VIDEO: https://www.youtube.com/watch?v=1xjyVip7pjc 

 

 

 

4.3 Valores extremos máximos y mínimos de una función. 

 

 

Valores Extremos Máximos y Mínimos de una Función

En cálculo diferencial, los valores extremos de una función son los puntos donde la función alcanza su valor más alto (máximo) o más bajo (mínimo) dentro de un intervalo dado. Estos extremos pueden ser absolutos (en todo el dominio) o relativos (en un entorno cercano).

Tipos de Extremos

1.         Máximos y mínimos absolutos:
   •       El máximo absoluto es el punto donde la función alcanza su valor más alto en todo el dominio.
   •      El mínimo absoluto es el punto donde la función alcanza su valor más bajo en todo el dominio.                                                               
   •        Máximos y mínimos relativos:
     •      Un máximo relativo es un punto donde la función tiene un valor mayor  que en los puntos cercanos.
     •         Un mínimo relativo es un punto donde la función tiene un valor menor que en los puntos cercanos.

Teorema de los Valores Extremos

Si una función es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en algún punto dentro de ese intervalo. Estos valores pueden ocurrir en los puntos críticos (donde la derivada es cero o no existe) o en los extremos del intervalo.

Cómo Encontrar Máximos y Mínimos

1.           Identificar los puntos críticos:
   •       Calcular la derivada de la función $f^{\mathrm{\prime }}(x).$
   •       Resolver $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{0,}$ o identificar dónde $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ no existe.
2.             Evaluar los puntos críticos:
   •       Usar el criterio de la primera derivada:
     •       Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)$cambia de positivo a negativo, el punto es un máximo relativo.
     •        Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ cambia de negativo a positivo, el punto es un mínimo relativo.
   • Usar el criterio de la segunda derivada:
     •        Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$, el punto crítico es un mínimo relativo.
     •         Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$, el punto crítico es un máximo relativo.
3.             Evaluar los extremos del intervalo:
   •      Si el dominio está acotado, evaluar la función en los extremos del intervalo para determinar los valores absoluto.
   •  
   •  

                                             VIDEO: https://youtu.be/Avyolc9K61E

4.4 Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.

 

Criterio de la Primera Derivada para Máximos y Mínimos 

El criterio de la primera derivada es una herramienta fundamental en cálculo diferencial que permite identificar los puntos críticos de una función y determinar si corresponden a máximos, mínimos o puntos de inflexión. Este criterio se basa en el análisis del comportamiento de la derivada de la función en torno a los puntos críticos.

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Definición y Procedimiento

1.          Puntos Críticos:
   •      Un punto crítico de una función $f(x)$ ocurre cuando su primera derivada es igual a cero ($f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$) o cuando  la derivada no existe en ese punto.
   •      Estos puntos son candidatos a ser máximos, mínimos o puntos de inflexión.
2.         Criterio de la Primera Derivada:
   •     Una vez identificados los puntos críticos, se analiza el signo de la derivada antes y después de cada punto crítico:
     •      Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ cambia de positivo a negativo al pasar por un punto crítico, ese punto es un máximo relativo.
     •      Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ cambia de negativo a positivo, el punto crítico es un mínimo relativo.
     •       Si $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ no cambia de signo, el punto crítico no es un extremo relativo (puede ser un punto de inflexión).
3.          Interpretación Gráfica:
   •       La derivada positiva ($f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$) indica que la función es creciente.
   •      La derivada negativa ($f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$) indica que la función es   decreciente.
   •      El cambio de crecimiento a decrecimiento o viceversa en un punto crítico determina si es un máximo o un mínimo.

 

 

 

 https://sites.google.com/view/calcdiferencial101/unidad-5/5-5-criterio-de-la-primer-derivada-para-m%C3%A1ximos-y-minimos

 

https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-14-criterio-de-la-primera-derivada-maximos-y-minimos/

 

https://www.matesfacil.com/DCMonotonia.htm 

4.5 Concavidad y punto de inflexión de funciones. 

Concavidad

La concavidad de una función se refiere a la forma en que su gráfica se curva. Podemos distinguir dos tipos principales:

• Convoca hacia arriba: La gráfica de la función se curva hacia arriba, como una sonrisa.

• Cóncava hacia abajo: La gráfica de la función se curva hacia abajo, como una mueca.

¿Cómo determinar la concavidad? La concavidad de una función en un intervalo está determinada por el signo de su segunda derivada:

•      Si f''(x) > 0 en un intervalo, entonces f es cóncava hacia arriba en ese intervalo.

•    Si f''(x) < 0 en un intervalo, entonces f es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión de una función son aquellos puntos en los que la gráfica de la función cambia de concavidad, es decir, pasa de cóncava a convexa o viceversa. Informalmente hablando, podemos decir que es el momento en que la función cambia de tendencia.

 

¿Cómo encontrar los puntos de inflexión? Los puntos de inflexión suelen ocurrir cuando la segunda derivada cambia de signo. Por lo tanto, para encontrarlos, se siguen estos pasos:

 

     Calcular la segunda derivada: f''(x)

       Igualar la segunda derivada a cero: f''(x) = 0

       Resolver la ecuación: Encontrar los valores de x que hacen que la  segunda derivada sea cero.

     Verificar el cambio de signo: Analizar el signo de la segunda derivada a ambos lados de los valores encontrados en el paso anterior. Si el signo cambia, entonces hay un punto de inflexión en ese valor de x.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/derivadas/puntos-de-inflexion.html

4.6 Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

 

 

Criterio de la Segunda Derivada para Máximos y Mínimos

El criterio de la segunda derivada es un método matemático utilizado en cálculo diferencial para determinar si un punto crítico de una función es un máximo relativo, un mínimo relativo, o si no se puede clasificar con este criterio. Este método se basa en el análisis de la segunda derivada de la función en los puntos críticos.

 

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Definición y Fundamento Matemático

El criterio de la segunda derivada se aplica a funciones continuas y diferenciables, y se fundamenta en el comportamiento de la concavidad de la función en torno a los puntos críticos. Un punto crítico es aquel donde la primera derivada de la función es igual a cero, es decir, $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$, o donde la derivada no existe.

Enunciado del Criterio

Sea $f(x)$ una función continua y dos veces diferenciable en un intervalo que contiene un punto crítico $c$. Entonces:

1.        Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)>0$, la función tiene un mínimo relativo en $c$. Esto se debe a que la concavidad de la función es hacia arriba en ese punto.
2.        Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)<0$, la función tiene un máximo relativo en $c$. Esto ocurre porque la concavidad de la función es hacia abajo en ese punto.
3.       Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)=0$, el criterio de la segunda derivada no proporciona información concluyente.   En este caso, se debe recurrir a otros métodos, como el criterio de la primera derivada o el análisis gráfico.

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Pasos para Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada

1.          Calcular la primera derivada ${}^{\mathrm{}}$:
   •     Encuentra los puntos críticos resolviendo $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ o identificando dónde no existe la derivada.
2.         Calcular la segunda derivada ${}^{\mathrm{}\mathrm{}}$:
   •       Evalúa la segunda derivada en cada punto crítico $c$.
3.          Analizar el signo de $$:
   •         Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)>0$, $c$ es un mínimo relativo.
   •         Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)<0$, $c$ es un máximo relativo.
   •        Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)=0$, el criterio no es concluyente y se deben usar otros método. 

     Ventajas y Limitaciones del Criterio

     Ventajas:

   •      Es un método rápido y directo para clasificar puntos críticos.
   •      Permite determinar la naturaleza de los extremos relativos sin necesidad de analizar intervalos.

   Limitaciones:

4.       Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)=0$, el criterio no es concluyente. En este caso, se debe recurrir al criterio de la primera derivada o al análisis gráfico.
5.      Requiere que la función sea dos veces diferenciable en el intervalo de interés

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Relación con la Concavidad

El criterio de la segunda derivada está estrechamente relacionado con la concavidad de la función:

•       Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$, la función es cóncava hacia arriba (forma de "U").
•      Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$, la función es cóncava hacia abajo (forma de "∩").
•      Si $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0$, puede haber un punto de inflexión, pero no necesariamente un extremo relativo.

 

 

 

https://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_la_segunda_derivada

 

https://portalacademico.cch.unam.mx/calculo1/criterios-derivada/criterios-segunda-derivada

4.7 Análisis de la variación de una función. Graficación.

 Análisis de la variación de una función

El análisis de la variación de una función consiste en estudiar cómo cambian los valores de una función a medida que cambia la variable independiente. En otras palabras, se trata de identificar en qué intervalos la función crece, decrece o permanece constante.

Herramientas clave para el análisis:

• • Derivada: La derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
  •      Si la derivada es positiva, la función es creciente en ese punto.
  •  Si la derivada es negativa, la función es decreciente en ese punto.
  •      Si la derivada es cero, la función tiene un punto crítico (posible máximo o mínimo local).

Puntos críticos: Son los puntos donde la derivada se anula o no existe. Estos puntos son candidatos a ser extremos locales de la función.

• Concavidad: La concavidad de una función indica si la gráfica es "curvada hacia arriba" (cóncava hacia arriba) o "curvada hacia abajo" (cóncava hacia abajo). La segunda derivada nos ayuda a determinar la concavidad.
•     Puntos de inflexión: Son los puntos donde la concavidad cambia.

Pasos para analizar la variación de una función y graficar:

1. Hallar el dominio: Determinar los valores de la variable independiente para los cuales la función está definida.
2.     Calcular la derivada: Encontrar la expresión de la derivada primera de la función.
3.          Hallar los puntos críticos: Resolver la ecuación f'(x) = 0 para encontrar los valores de x donde la derivada se anula. También considerar los puntos donde la derivada no existe.
4.      Estudiar el signo de la derivada: Analizar el signo de la derivada en los intervalos determinados por los puntos críticos.
   • Si f'(x) > 0, la función es creciente.
   • Si f'(x) < 0, la función es decreciente.
5.   Identificar los extremos locales: Los puntos críticos donde la función cambia de creciente a decreciente son máximos locales, y los que cambian de decreciente a creciente son mínimos locales.
6.      Calcular la segunda derivada (opcional): Si se desea analizar la concavidad, calcular la derivada segunda de la función
7. Estudiar el signo de la segunda derivada:
   • Si f''(x) > 0, la función es cóncava hacia arriba.
   • Si f''(x) < 0, la función es cóncava hacia abajo.
8.       Identificar los puntos de inflexión: Los puntos donde la segunda derivada cambia de signo son puntos de inflexión.
9. Graficar la función: Utilizando toda la información obtenida (dominio, puntos críticos, extremos locales, concavidad, puntos de inflexión), realizar una gráfica aproximada de la función.

 

Graficación de la función:

Una vez que se ha realizado el análisis de la variación, se puede proceder a graficar la función. Los elementos clave a considerar en la gráfica son:

•       Intersecciones con los ejes: Los puntos donde la gráfica corta al eje x (raíces) y al eje y (ordenada al origen).

•     Asíntotas: Líneas rectas a las que se acerca la gráfica cuando x tiende a infinito o a un valor determinado.

•     Puntos críticos y extremos relativos: Marcar en la gráfica los puntos máximos y mínimos.
•     Concavidad: Indicar las zonas donde la gráfica es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
  
  

http://moodle.tacambaro.tecnm.mx/mod/book/view.php?id=6525&chapterid=284

4.8 RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS

Es la medida en que una variable cambia en relación de otra variable. también llamada tasa de cambio, si las variables no dependen de la otra esta tasa o razón es igual a 0
Si dos o mas cantidades se relacionan con una ecuación, la razón de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la ecuación. 

objetivo Analizar tanto cuantitativa como cualitativamente las razones de cambio instantáneo y promedio de un fenómeno, lo cual nos permite dar solución a situaciones problemáticas cuya solución no está al alcance de los métodos algebraicos.  

 

Pasos para resolver problemas de razón de cambio:

1.- Trazar un dibujo que contemple todas las variables que intervengan. 

2.- Elaborar un modelo matemático que relacione las variables.

3.- Derivar el modelo matemático respecto al tiempo, se despeja la incógnita a conocer y se sustituyen los datos. 

 

https://calculus502.weebly.com/razoacuten-de-cambio

 

 

4.9 Problemas de Optimización.

 Un problema de optimización es el problema de encontrar la mejor solución a partir de todas las soluciones factibles. 

Los problemas de optimización se pueden dividir en dos categorías, dependiendo de si las variables son continuas o discretas:

•      Un problema de optimización con variables discretas se conoce como optimización discreta, en la que un objeto como un número entero, una permútacion  o un  grafico se debe encontrar en un conjunto contable.
•   Un problema con variables continuas se conoce como optimización continua, en la que se debe encontrar un valor óptimo de una función continua. Pueden incluir problemas restringidos y problemas multimodales.

Problema de optimización continua

La forma estándar de un  problema de optimización continua  es​

${\displaystyle \begin{array}{rlrl}& \underset{x}{\mathrm{minimizar}}& & f(x)\\ & \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{j}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{a}& & g_i(x)\le 0,i=1,\dots ,m\\ & & & h_j(x)=0,j=1,\dots ,p\end{array}}$

donde

•         f : ℝⁿ → ℝ es la función objetivo a minimizar sobre el vector x de n-variables,
• g_i(x) ≤ 0 se denominan restricciones de desigualdad
• h_j(x) = 0 se denominan restricciones de igualdad, y
• m ≥ 0 y p ≥ 0.

Si m = p = 0, el problema es un problema de optimización sin restricciones. Por convención, la forma estándar define un problema de minimización. Un problema de maximización puede tratarse negando la función objetivo.

Problema de optimización combinatoria

Formalmente, un problema de optimización combinatoria A es un cuádruple (I, f, m, g), donde

• I es un conjunto de instancias;
•     dada una instancia x ∈ I, f(x) es el conjunto de soluciones factibles;
•     dada una instancia x una solución factible y de x, m(x, y) denota la medida de y, que generalmente es un real positivo.
• g es la función objetivo, y es min o max.

El objetivo es entonces encontrar para algún caso x una solución óptima, es decir, una solución factible y con

${\displaystyle m(x,y)=g\{m(x,y^{\prime })\mid y^{\prime }\in f(x)\}.}$

Para cada problema de optimización combinatoria, hay un problema de  desición correspondiente que pregunta si existe una solución factible para alguna medida particular m₀.

 

 

 

https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_optimizaci%C3%B3n 

4.10 Definición de diferencial

 

Definición de Diferencial en Matemáticas

En matemáticas, específicamente en el cálculo diferencial, el término "diferencial" se refiere a un concepto que describe el cambio infinitesimal en una función en relación con el cambio en su variable independiente. Es una herramienta clave para analizar cómo varían las funciones y se utiliza ampliamente en problemas de aproximación, cálculo de errores y análisis de cambios.

Concepto Basico

Si una función $f(x)$ es derivable, la diferencial de la función, denotada como $dy$, se define como el producto de la derivada de la función $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ y un incremento infinitesimal $dx$ en la variable independiente. Esto significa que la diferencial $dy$ es una aproximación lineal al cambio en el valor de la función $f(x)$cuando la variable $x$ cambia en una cantidad infinitesimal $dx$ .

Aplicaciones del Concepto de Diferencial

1. Aproximaciones: Las diferenciales se utilizan para estimar valores de funciones en puntos cercanos al conocido, lo que es útil en cálculos rápidos y aproximaciones.
2.      Errores de medición: Ayudan a calcular errores al medir diferencias entre valores reales y aproximados

    Análisis de cambios: Permiten estudiar cómo una función varía en diferentes puntos y cómo se comporta en intervalos específicos.

Relación con la Derivada

La diferencial está estrechamente relacionada con la derivada. Mientras que la derivada $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ mide la tasa de cambio instantánea de la función, la diferencial $dy$ representa el cambio real aproximado en el valor de la función debido a un cambio infinitesimal en $x$ .

Importancia en Matemáticas

El concepto de diferencial es fundamental en el cálculo y el análisis matemático, ya que permite modelar y resolver problemas relacionados con el cambio y la variación en diversas disciplinas, como la física, la ingeniería y la economía.

 

 

 

 

https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/calculo/diferencial.html

 

https://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htm 

4.11 Cálculo de aproximaciones usando diferenciales

Una aproximación en matemáticas es un número que no es el valor exacto de algo, pero está tan cerca de este que se considera tan útil como dicho valor exacto.

Cuando en matemáticas se realizan aproximaciones es porque manualmente resulta difícil (o en algunas ocasiones imposible) conocer el valor preciso de lo que se quiere.

La herramienta principal cuando se trabaja con aproximaciones es la diferencial de una función. La diferencial de una función f, denotada por Δf(x), no es más que la derivada de la función f multiplicada por el cambio en la variable independiente, es decir, Δf(x)=f'(x)*Δx.

En ocasiones se utiliza df y dx en lugar de Δf y Δx.

Aproximaciones usando la diferencial

La fórmula que se aplica para realizar una aproximación a través de la diferencial surge justamente a partir de la definición de la derivada de una función como un límite.

Esta fórmula viene dada por:

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)*(x-x0) = f(x0) + f'(x0)*Δx.

Aquí se entiende que Δx=x-x0, por lo tanto, x=x0+Δx. Utilizando esto la fórmula puede reescribirse como

f(x0+Δx) ≈ f(x0) + f'(x0)*Δx.

Cabe destacar que “x0” no es un valor arbitrario, sino que es un valor tal que f(x0) es conocido fácilmente; además, “f(x)” es justo el valor que queremos aproximar.

¿Hay mejores aproximaciones?

La respuesta es si. La anterior es la más sencilla de las aproximaciones llamada “aproximación lineal”.

 

 

Para aproximaciones de mejor calidad (el error cometido es menor), se utilizan polinomios con más derivadas llamados “polinomios de Taylor”, así como también existen otros métodos numéricos como el método de Newton-Raphson entre otros.

 

Estrategia

La estrategia a seguir es:

– Escoger una función f adecuada para realizar la aproximación y el valor “x” tal que f(x) sea el valor que se quiere aproximar.

– Escoger un valor “x0”, cercano a “x”, tal que la f(x0) sea fácil de calcular.

– Calcular Δx=x-x0.

– Calcular la derivada de la función y f'(x0).

– Sustituir en la fórmula los datos.

 

https://www.lifeder.com/calculo-aproximaciones-usando-diferencial/

 

 

4.12 La regla de L'Hopital

La regla de l’Hôpital sirve para resolver muchos casos de límites que den indeterminación, especialmente los casos más complejos, exponenciales o términos no racionales. Se aplica directamente a límites con indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞.

 Eso no impide que pueda aplicarse a otros casos de límites indeterminados, realizando transformaciones para llegar a una de los tipos anteriores. La regla de l’Hôpital puede aplicarse sucesivamente. Requiere conocer bien la técnica de la derivación>. 

 

Regla de L'Hôpital

Si y  son 2 funciones continuas tal que

La regla de L'Hôpital nos dice que

 .

Para poder aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma , y tener una de las siguientes indeterminaciones 

 

• ,
• 

 

https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/regla-l-hopital/

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/regla-de-lhopital.html

VIDEO: https://youtu.be/D2G7B3ag40U?si=H34dmBWJkvKkK3Qy

 

 

 

 

 

Yoselin Del Angel Alonso 

 

N.C:24383011

 

Frase Motivadora: "Tu esfuerzo de hoy será tu éxito de mañana."

 

       Propósito o meta a corto plazo: Continuar con mis estudios tener una buena salud. 

 

Pablo Reyes Del Angel

N.C: 24383015

       Frase motivadora: "El éxito no es la clave de la felicidad. La felicidad es la clave del éxito. Si amas lo que haces, tendrás éxito."

 

       Propósito o meta a corto plazo:  Siempre estar y poder contar  con mi familia, poder lograr seguir adelante en lo académico.  

 

 

 

Jesús Jair Nava Rodríguez 

NC: 25383038

 

  Frase motivadora:“Ningún sueño es muy grande y ningún soñador muy pequeño” 

 Propósito o meta a corto plazo:  Que nunca me falte el dinero y siempre contar con mi familia en las buenas y en las malas